真正的火羽白

# 时间序列预测 # 简介 时间序列预测旨在基于历史数据，对未来的观测值进行推断。 预测值：yt+h∣ty_{t+h|t} yt+h∣t​ 其中，yt+h∣ty_{t+h|t}yt+h∣t​ 表示在已知时刻 ttt 的信息 ItI_tIt​ 的基础上，对未来时刻 t+ht+ht+h 的观测值 yt+hy_{t+h}yt+h​ 所做的预测。 预测误差：εt+h∣t=yt+h−yt+h∣t\varepsilon_{t+h|t}=y_{t+h}-y_{t+h|t} εt+h∣t​=yt+h​−yt+h∣t​ 评价准则： 预测的常用评价准则之一是均方误差（MSE），其

# AR 模型 # AR(1) 模型 1. 模型定义 AR(1) 模型，也称一阶自回归模型，其递推式为： yt=ϕyt−1+εt, εt∼WN(0,σ2)y_t=\phi y_{t-1}+\varepsilon_t,~\varepsilon_t\sim WN(0,\sigma^2) yt​=ϕyt−1​+εt​, εt​∼WN(0,σ2) 其中 WN(0,σ2)WN(0,\sigma^2)WN(0,σ2) 表示均值为 0、方差为 σ2\sigma^2σ2 的白噪声。该模型可使用滞后算子 BBB 表示为： ϕ(B)yt=(1−ϕB)yt=εt\p

# 滞后算子（Backshift Operator）BBB 滞后算子 BBB 是一个用于表示时间序列数据向后移动的数学工具。 定义： 滞后算子 BBB 作用于一个时间序列 yty_tyt​，将其值向后移动一个时间步长。Byt:=yt−1By_t := y_{t-1} Byt​:=yt−1​ 多次作用： 滞后算子可以连续作用多次，表示将时间序列值向后移动多个时间步长。Bpyt:=yt−pB^p y_t := y_{t-p} Bpyt​:=yt−p​ # 差分算子（Difference Operator）Δ\DeltaΔ 差分算

# 概述 层次线性模型，也称为混合效应模型（Mixed-effects Models）或多水平模型（Multilevel Models），是一种处理具有嵌套或分组结构的数据的统计模型。它能同时考虑数据中的固定效应和随机效应。 # 固定效应与随机效应 固定效应（Fixed Effects）：指模型中因子的水平是固定的，我们只关心研究中包含的特定水平。这些因子提供了特定的信息，例如方差分析（ANOVA）模型： yij=βi+ϵij, ϵij∼N(0,σ2)y_{ij}=\beta_i+\epsilon_{ij},~\epsilon_{ij}\sim N(0,\sigma^2

# 线性回归模型 线性回归模型建立在一系列基本假设之上，这些假设包括：线性性、独立性、正态性和恒定方差。 # 模型定义与矩阵形式 线性回归模型可以表示为： yi∼N(β1xi1+⋯+βkxik,σ2)y_i\sim N(\beta_1x_{i1}+\cdots+\beta_kx_{ik},\sigma^2) yi​∼N(β1​xi1​+⋯+βk​xik​,σ2) 其中，xi1=1x_{i1}=1xi1​=1，β1\beta_1β1​ 是截距项。 其矩阵形式为： yn×1∼N(Xn×kβk×1,σ2In×n)y_{n\times1}\sim N(X_{n\times

# 马尔可夫链的收敛性 # 马尔可夫链简介 马尔可夫链是一个随机变量序列 θ(t)\theta^{(t)}θ(t)，其当前状态只依赖于前一个状态，即满足马尔可夫性质： p(θ(t)∣θ(t−1),⋯ ,θ(0))=p(θ(t)∣θ(t−1))p(\theta^{(t)}\mid \theta^{(t-1)},\cdots, \theta^{(0)})=p(\theta^{(t)}\mid \theta^{(t-1)}) p(θ(t)∣θ(t−1),⋯,θ(0))=p(θ(t)∣θ(t−1)) 其中，ppp 被称为转移分布。 马尔可夫链的状态空间是其所有可能状态的集

# Metropolis-Hastings (MH) 算法 # 算法流程 定义目标分布与提议分布 目标分布为 p(θ∣y)p(\theta \mid y)p(θ∣y)，这是我们希望采样的分布。 提议分布（Proposal Distribution）为 g(θ∗∣θ(t))g(\theta^* \mid \theta^{(t)})g(θ∗∣θ(t))，用于生成新的候选样本 θ∗\theta^*θ∗。 迭代采样过程 给定当前样本 θ(t)\theta^{(t)}θ(t)。 从提议分布中采样一个候选值：θ∗∼g(θ∣θ(t))\theta^* \sim g(\theta \mid \t

# 概述：为什么贝叶斯推断需要采样 在贝叶斯推断中，我们面临的主要挑战是计算的复杂性。无论是参数的后验分布 p(θ∣y)p(\theta \mid y)p(θ∣y) 还是后验预测分布 p(y~∣y)p(\tilde{y} \mid y)p(y~​∣y)，它们通常都没有封闭形式的解析解，这使得直接进行精确计算变得极其困难。此外，后验分布 p(θ∣y)∝p(θ)p(y∣θ)p(\theta \mid y) \propto p(\theta)p(y \mid \theta)p(θ∣y)∝p(θ)p(y∣θ) 往往是非归一化的，进一步加大了计算难度。 蒙特卡洛方法为解决这些问题提供了有效的途径。它的核

# 预测准确度 # 单点预测 当只预测一个单一值时，可以使用以下指标衡量模型的预测准确度： 均方误差（MSE, Mean Squared Error） mse=1n∑i=1n(yi−E⁡(yi∣θ))2mse = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\operatorname{E}(y_{i}|\theta))^{2} mse=n1​i=1∑n​(yi​−E(yi​∣θ))2 MSE 衡量预测值与真实值之间的平方差的均值，目标是最小化 MSE。 加权均方误差（WMSE, Weighted Mean

# 基本概念与方法 # 贝叶斯模型检查的核心问题 在贝叶斯分析中，模型检查旨在回答两个基本问题： 所使用的模型是否准确地描述了数据？ 后验推断对模型假设的敏感度如何？ 贝叶斯分析的一般流程包括：构建概率模型、计算参数的后验分布、评估模型对数据和先验知识的拟合程度，并据此改进模型。模型检查是这一流程中至关重要的一个环节。 # 敏感性分析 在实际科学问题中，可能存在多个合理的模型，它们都对数据有良好的拟合。这些模型可能在先验设定、抽样分布或包含的信息上存在显著差异。敏感性分析的核心在于评估，当使用不同的合理概率模型时，后验推断会发生多大变化。 一个理想化的模型检查方法是构建一个包含所有可能“真